Repàs problemes amb decimals

Us adjuntem una fitxa amb problemes de nombres decimals per tal que pogueu fer un repàs.

 

Exercicis sistema sexagessimal

Per tal que comproveu que treballem el mateix que altres centres de 2n d'ESO, us passem un control d'una escola:

Sistema sexagesimal 1

El sistema sexagesimal s'utilitza per mesurar temps (hores, minuts i sgeons) i angles (graus, minuts i segons). En aquest sistema, 60 unitats d'un ordre formen una unitat de l'ordre inferior.

Unitats de mesura d'angles:

La unitat de mesura d'angles és el grau. També hi ha el minut i el segon que s'utilutzen quan es vol mesrar angles amb més precisió.

Unitat	Símbol	Equivalència
Grau	º	1º = 60'
Minut	'	1' = 60''
Segon	''	1º = 3600''

 Unitats de mesua de temps:

Unitat	Símbol	Equivalència
Hora	h	1h = 60 min
Minut	min	1min = 60 s
Segon	s	1h = 3600 s

Forma complea i incomplexa:

Podem expressar les mesures d'angles o temps de dues maneres:

• forma complexa: s'utilitzen diverses unitats. 4h 20 min 15 s o 27º 8' 50''
• forma incomplexa: s'utilitza una sola unitat.  6,7 h  0 360º

Podem transformar un tipus d'expressió de mesures en l'altre (de compla a incomplexa i viceversa).

• pas de forma complexa a incomplexa: per tal de poder fer aquesta transformació, hem de tenir clares les equivalències entre les unitats:

1. d'hores o graus a minunts, multipliquem per 60.  15º a minuts: 15·60 = 900
2. d'hores o graus a segons, multipliquem per 3600. 5h a segons: 5·3600 = 18000
3. de minuts a segons, multipliquem per 60. 12' a segons: 12·60 = 720

• pas de forma incomplexa a complexa: s'ha de tenir en compte el següent:

1. en dividir segons entre 60, obtindrem minuts com a quocient i el residu seran segons.
2. en dividir minuts entre 60, obtindrem graus o hores com a quocient i el residu seran minuts.

Exemples:
2679'': 60 = 44' r: 39''        325 min : 60 = 5 h r: 25 min

Operacions en el sistema sexagesimal:

• suma en el sistema sexagesimal: per sumar angles o temps, col·loquem els sumands agrupats (graus amb graus, minuts amb minuts, segons amb segons) i realitzem la operació.

En obtenir el resultat s'ha de tenir en compte el següent:

1. si obtenim un nombre més elevat de 60 en els segons, es transformen en minuts (restem 60 en els segons i sumem un en els minuts).
2. si obtenim un nombre més elevat de 60 en els minuts, es transformen en graus/hores (restem 60 en els minuts i sumem 1 en els graus/hores).

Exemple:

17º 25' 13'' + 21º 45' 57'' Ho col·loquem correctament i realitzem el càlcul:

17º 25' 13''
21º 45' 57''
38º 70' 70''      Fem les operacions necessàries per tal que ni els minuts ni els graus sobrepassin de 60.
-          60     
38º 70' 10''
+      1'      
38º 71' 10''
-     60       
38º 11' 10''
+1º            
39º 11' 10''

• Resta en el sistema sexagesimal: per restar angles o temps, col·loquem el minuend i el substraend agrupats (graus amb graus, minuts amb minuts, segons amb segons) i realitzem la operació.  

Per tal de dur a terme les restes hem de tenir en compte el següent:

1. si el nombre de segons del minuend és més petit que el del substraend, passem un minut del minuend a segons.
2. si el nombre de minuts del minuend és més petit que el del substraend, passem una hora(grau del minuend a minuts.

Exemple:

34º 16' 12'' - 17º 27' 30'' Ho col·loquem correctament i observem que el minuend sigui més gran que el substraend.Si no ho és fem els canvis pertinents:
34º 16' 12''   Agafem un minut (16-1) i el transformem a segons (1' =  60'')
17º 27' 30''

34º 15' 72'' Agafem un grau (34-1) i el transformem a minuts (1º = 60')
17º 27' 30''

33º 75' 72'' Realitzem la operació
17º 27' 30''
16º 48' 42''

• Multiplicació en el sistema sexagesimal:  multipliquem mesures de temps o d'angles per un nombre natural. 

1. Multipliquem cada unnitat pel nombre natural.
2. Fem els canvis que siguin necessaris (en tenir com a resultat minuts o segons superiors a 60).

 Exemple:

(34h 9 min 12s) · 7 Realitzem el càlcul:
34h 9 min 12s
                 x 7  
238h 63min 84s     Fem els canvis necessaris ja que els minuts i els segons superen el 60.
-                  60 
238h 63min 24s
+        1min       
238h 64min 24s
-       60            
238h 4 min 24s
+  1h                
239h 4 min 24s  

• Divisió en el sistema sexagesimal: dividim mesures de temps o angles entre un nombre natural.

1. dividim els graus/hores entre el nombre natural.
2. transformem el residu de graus/hores en minuts i els sumem als que ja tenim. A continuació dividim els minuts obtinguts entre el nombre natural.
3. passem el residu de minuts a segons  i els sumem als que ja tenim. A continuació dividim entre el nombre natural.

Exemple:

(55º 42' 13'') : 4 Realitzem el càcul:

55º         42'         13'' |4                   

15                               13º 55' 33'

3·60 = 180'

           222'

           22

           02·60 = 120''

                         133''

                         13

                         1''

 
                

 

   

Sistema sexagessimal

Un JClic que t'ajudarà a entendre la base del sistema sexagessimal:

zonaClic - activitats - Sistema sexagesimal

Fraccions i nombres decimals

Fraccions i nombres decimals from mbalag27

Fraccions. Preparem el control

Us adjuntem una fitxa de treball per preparar el control de les fraccions. El farem el proper dimarts dia 6 de novembre. Caldrà presentar la feina feta per poder fer-lo.

Fraccions

Què entenem per fracció?

Una fracció és una expressió que ens permet representar una proporció.

La fracció està formada per dos nombres, a/b, on a s'anomena numerador, i b, denominador.

Fracció com a part de la unitat: una fracció expressa un valor respecte un total que anomenm unitat.

6/10 on 10 (denominador) representa el nombre de parts iguals en què dividim la unitat, i 6 (numerador), el nombre de parts que agafem.

Fracció com a quocient: una fracció pot actuar com a una divisió, és a dir, el numerador és dividit per denominador. 6/10      6:10 =0,6

Fracció com a operador: una fracció pot actuar com a operador sobre un nombre. per calcular la fracció d'un nombre multippliquem el numerador pel nombre i dividim el resultat pel denominador.

6/10 de 5 = 6·5:10 = 30:10 = 3

Fraccions equivalents:

Dues fraccions són equivalents si n multiplicar els numeradors pels denminadors contraris en dóna el mateix resultat.

a/b i c/d    a·d = b·c      2/3 i 6/9   2·9 = 3·6   18 = 18

Podem obtenir fraccions equivalents fent servir els mètodes segúents:

• amplificació: consisteix en multiplicar el numerador i el denominador pel mateix nombre (diferent a zero).  5/8    5·3/8·3     15/24  per tant, 5/8 i 15/24 són equivalents  5·24 = 8·15   120 = 120
• simplificació: consisteix en dividir en numerador i el denominador per un divisor comú. 12/36  12:2/36:2    6/18  per tant, 12/36 i 6/18 són equivalents  12·18 = 36·6  216 = 216

IMPORTANT: una fracció és irreductible quan no es pot simplificar.

• Fracció irreductible: és una fracció on el seu numerador i el seu denominador no tenen divisors comuns (no podem dividir els dos termes de la fracció per cap divisor comú).
• Reducció a comú denominador: consisteix en obtenir fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador.

Com ho fem? A continuació teniu un exemple on indica els passos a seguir:

2/20 i 3/15

1r. pas: calculem el m.c.m dels denominadors:

15=3·5            m.c.m (15,20) = 3·5·2²= 3.5.4 = 15·4 = 60

20 = 2²·5

2n. pas: el m.c.m el posem com a nou denominador de les fraccions (sense col·locar encara cap numerador):

/60 i /60

3r. par: busquem el nou numerador. Com? Dividim el nou denominador pel vell i el resultat obtingut el multipliquem pel numerador original:

de la fracció 2/20 tenim: 60:20 = 3 i aquest resultat el multipliquem pel numerador, 3·2 =6

de la fracció 3/15 tenim: 60:15 = 4 i aquest resultat el multipliquem pel numerador, 4·3 =12

4rt. pat: formem les noves fraccions:

6/60 i 12/60

Comparació de fraccions:

Tenim un seguit de criteris per tal de poder comparar fraccions:

• fraccions amb el mateix denominador: la fracció que té el numerador més alt és la fracció més gran.
• fraccions amb el mateix numerador: la fracció que té el deno,minador més baix és la fracció més gran.
• fraccions amb numerador i denominador diferents: reduïm a denominador comú i aleshores apliquem el criteri de les fraccions amb igual denominador.

Exemples:

Mateix denominador:  4/6 i 18/6 :    4<18 per tant, 4/6<18/6

Mateix numerador: 2/7 i 2/9 :   7<9 per tant, 2/7>2/9

Numerador i denominador diferent: 4/6 i 2/9:  reduïm a denominador comú.

6 = 2·3     m.c.m (6, 9) = 2·3² = 2·9 = 18

9 = 3²

4 →→→   3·4 = 12 → 12                     2 →→→    2·2 = 4 → 4 

6→ 18:6 = 3                  18                     9 → 18:9 = 2              18

Les fraccions resultants són: 12/18 i 4/18, per tant, 12>4, 12/18>4/18. Així que, 4/6>2/9

Una altra manera de saber quina de les dues fraccions és més gran (en tots els casos anteriors), és calculant el valor numèric de cada fracció i comparant-los.

Operacions amb fraccions:

• Suma i resta de fraccions  amb el mateix denominador: sumem o restem els numeradors ideixem el mateix denominador.
• Suma i rest de fraccions amb diferent denominador: reduïm les fraccions a comú denominador i, a continuació operem com en el cas de suma o resta de fraccions amb el mateix denominador. 

 Exemples:

Mateix denominador:    4   +   8   =   12            7   -   3   =   4  

                                       6        6         6             9       9         9

Diferent denominador:   7   +    3   -   4      Reduïm a comú denominador.

                                       9         12      8       

9 = 3²                   m.c.m (9, 12, 8) = 3²·2³ = 9·8 = 72

8 = 2³

12 = 3·2²        Fraccions resultants: 56 + 18 - 36 = 74 - 36 = 38

                                                    72    72   72    72    72    72

IMPORTANT: dues fraccions es consideren oposades quan la seva suma dóna sempre com a resultat zero.

• Multiplicació de fraccions: el producte de dues o més fraccions es realitza multiplicant els numeradors de les fraccions entre si (originen el nou numerador) i es fa el mateix procés amb els denominadors (originen el nou denominador).
• Divisió de fraccions: per dividir fraccions multipliquem el numerador de la primera fracció pel denominador de la segona (origina el nou numerador) i multipliquem el denominador de la primera fracció amb el numerador de la segona (origina el nou denominador), és a dir, multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona.

Exemples:

Multiplicació: 4 · 8 = 4·8 = 32 

                       2    7    2·7    14 

Divisió: 12 : 34 = 12·10 = 120

               8   10      8·34     272

Operacions combinades de fraccions:

Com en el cas dels nombres enters, en realitzar operacions combinades amb fraccions s'ha de respectar la jerarquia d'operacions:

1r. operacions que es troben dins de parèntesis o claudàtors.

2n. realitzar les potències i les arrels.

3r. efectuar les multiplicacions i les divisions de fraccions d'esquerra a dreta.

4rt. cacular les sumes i restes de fraccions d'esquerra a dreta.

Potència i arrel quadrada d'una fracció:

• Potència d'una fracció: el numerador i el denominador de la fracció estan elevats al mateix exponent.
• Arrel d'una fracció: realitzem l'arrel al numerador i al denominador, és a dir, l'arrel d'una fracció és el quocient de l'arrel del numerador i de la del denominador.

Activitats:

A continuació teniu l'enllaç amb diverses activitats:
https://docs.google.com/document/d/19JtPa1nmloOrKSmFW_dI8hpbrSFyH3-P0ON_Mf_kdwY/edit

Activitats obligatòries:

A continuació teniu l'enllaç amb les activitats obligatòries per presentar el divendres 11/11/11. En cas de no presentar-les no podreu fer el control.
https://docs.google.com/document/d/1KMfpCjpawf2ebdj9JhqJNFo7RwdtEgxwiRnNNKfW20U/edit