Fraccions

Què entenem per fracció?

Una fracció és una expressió que ens permet representar una proporció.

La fracció està formada per dos nombres, a/b, on a s'anomena numerador, i b, denominador.

Fracció com a part de la unitat: una fracció expressa un valor respecte un total que anomenm unitat.

6/10 on 10 (denominador) representa el nombre de parts iguals en què dividim la unitat, i 6 (numerador), el nombre de parts que agafem.

Fracció com a quocient: una fracció pot actuar com a una divisió, és a dir, el numerador és dividit per denominador. 6/10      6:10 =0,6

Fracció com a operador: una fracció pot actuar com a operador sobre un nombre. per calcular la fracció d'un nombre multippliquem el numerador pel nombre i dividim el resultat pel denominador.

6/10 de 5 = 6·5:10 = 30:10 = 3

Fraccions equivalents:

Dues fraccions són equivalents si n multiplicar els numeradors pels denminadors contraris en dóna el mateix resultat.

a/b i c/d    a·d = b·c      2/3 i 6/9   2·9 = 3·6   18 = 18

Podem obtenir fraccions equivalents fent servir els mètodes segúents:

• amplificació: consisteix en multiplicar el numerador i el denominador pel mateix nombre (diferent a zero).  5/8    5·3/8·3     15/24  per tant, 5/8 i 15/24 són equivalents  5·24 = 8·15   120 = 120
• simplificació: consisteix en dividir en numerador i el denominador per un divisor comú. 12/36  12:2/36:2    6/18  per tant, 12/36 i 6/18 són equivalents  12·18 = 36·6  216 = 216

IMPORTANT: una fracció és irreductible quan no es pot simplificar.

• Fracció irreductible: és una fracció on el seu numerador i el seu denominador no tenen divisors comuns (no podem dividir els dos termes de la fracció per cap divisor comú).
• Reducció a comú denominador: consisteix en obtenir fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador.

Com ho fem? A continuació teniu un exemple on indica els passos a seguir:

2/20 i 3/15

1r. pas: calculem el m.c.m dels denominadors:

15=3·5            m.c.m (15,20) = 3·5·2²= 3.5.4 = 15·4 = 60

20 = 2²·5

2n. pas: el m.c.m el posem com a nou denominador de les fraccions (sense col·locar encara cap numerador):

/60 i /60

3r. par: busquem el nou numerador. Com? Dividim el nou denominador pel vell i el resultat obtingut el multipliquem pel numerador original:

de la fracció 2/20 tenim: 60:20 = 3 i aquest resultat el multipliquem pel numerador, 3·2 =6

de la fracció 3/15 tenim: 60:15 = 4 i aquest resultat el multipliquem pel numerador, 4·3 =12

4rt. pat: formem les noves fraccions:

6/60 i 12/60

Comparació de fraccions:

Tenim un seguit de criteris per tal de poder comparar fraccions:

• fraccions amb el mateix denominador: la fracció que té el numerador més alt és la fracció més gran.
• fraccions amb el mateix numerador: la fracció que té el deno,minador més baix és la fracció més gran.
• fraccions amb numerador i denominador diferents: reduïm a denominador comú i aleshores apliquem el criteri de les fraccions amb igual denominador.

Exemples:

Mateix denominador:  4/6 i 18/6 :    4<18 per tant, 4/6<18/6

Mateix numerador: 2/7 i 2/9 :   7<9 per tant, 2/7>2/9

Numerador i denominador diferent: 4/6 i 2/9:  reduïm a denominador comú.

6 = 2·3     m.c.m (6, 9) = 2·3² = 2·9 = 18

9 = 3²

4 →→→   3·4 = 12 → 12                     2 →→→    2·2 = 4 → 4 

6→ 18:6 = 3                  18                     9 → 18:9 = 2              18

Les fraccions resultants són: 12/18 i 4/18, per tant, 12>4, 12/18>4/18. Així que, 4/6>2/9

Una altra manera de saber quina de les dues fraccions és més gran (en tots els casos anteriors), és calculant el valor numèric de cada fracció i comparant-los.

Operacions amb fraccions:

• Suma i resta de fraccions  amb el mateix denominador: sumem o restem els numeradors ideixem el mateix denominador.
• Suma i rest de fraccions amb diferent denominador: reduïm les fraccions a comú denominador i, a continuació operem com en el cas de suma o resta de fraccions amb el mateix denominador. 

 Exemples:

Mateix denominador:    4   +   8   =   12            7   -   3   =   4  

                                       6        6         6             9       9         9

Diferent denominador:   7   +    3   -   4      Reduïm a comú denominador.

                                       9         12      8       

9 = 3²                   m.c.m (9, 12, 8) = 3²·2³ = 9·8 = 72

8 = 2³

12 = 3·2²        Fraccions resultants: 56 + 18 - 36 = 74 - 36 = 38

                                                    72    72   72    72    72    72

IMPORTANT: dues fraccions es consideren oposades quan la seva suma dóna sempre com a resultat zero.

• Multiplicació de fraccions: el producte de dues o més fraccions es realitza multiplicant els numeradors de les fraccions entre si (originen el nou numerador) i es fa el mateix procés amb els denominadors (originen el nou denominador).
• Divisió de fraccions: per dividir fraccions multipliquem el numerador de la primera fracció pel denominador de la segona (origina el nou numerador) i multipliquem el denominador de la primera fracció amb el numerador de la segona (origina el nou denominador), és a dir, multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona.

Exemples:

Multiplicació: 4 · 8 = 4·8 = 32 

                       2    7    2·7    14 

Divisió: 12 : 34 = 12·10 = 120

               8   10      8·34     272

Operacions combinades de fraccions:

Com en el cas dels nombres enters, en realitzar operacions combinades amb fraccions s'ha de respectar la jerarquia d'operacions:

1r. operacions que es troben dins de parèntesis o claudàtors.

2n. realitzar les potències i les arrels.

3r. efectuar les multiplicacions i les divisions de fraccions d'esquerra a dreta.

4rt. cacular les sumes i restes de fraccions d'esquerra a dreta.

Potència i arrel quadrada d'una fracció:

• Potència d'una fracció: el numerador i el denominador de la fracció estan elevats al mateix exponent.
• Arrel d'una fracció: realitzem l'arrel al numerador i al denominador, és a dir, l'arrel d'una fracció és el quocient de l'arrel del numerador i de la del denominador.

Activitats:

A continuació teniu l'enllaç amb diverses activitats:
https://docs.google.com/document/d/19JtPa1nmloOrKSmFW_dI8hpbrSFyH3-P0ON_Mf_kdwY/edit

Activitats obligatòries:

A continuació teniu l'enllaç amb les activitats obligatòries per presentar el divendres 11/11/11. En cas de no presentar-les no podreu fer el control.
https://docs.google.com/document/d/1KMfpCjpawf2ebdj9JhqJNFo7RwdtEgxwiRnNNKfW20U/edit